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On Controlled Eilenberg-Zilber Theorem and its Application

제어된 Eilenberg-Zilber 정리와 그 응용에 대하여

이기현 (Gihyeon Lee, 포항공과대학교)

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$P : C_* \to D_{* + 1}$를 기저 사슬 복합체(based chian complex)에 대한 (부분적) 사슬 호모토피라 가정합니다. $P$의 직경 함수(diameter function) $d_P (k)$는 각 $k$에 대한 $C_k$의 모든 기저의 원소들에 대해 $d (P (c))$의 최대 값으로 정의됩니다. $S = \{P_A : \phi_A \simeq \psi_A \}_{A \in I}$를 (부분적) 사슬 호모토피들의 모임이라 하고 그들의 직경 함수를 고려해봅시다. 그러면 $\{d_{P_A} \}$가 유계인지에 ...
$P : C_* \to D_{* + 1}$를 기저 사슬 복합체(based chian complex)에 대한 (부분적) 사슬 호모토피라 가정합니다. $P$의 직경 함수(diameter function) $d_P (k)$는 각 $k$에 대한 $C_k$의 모든 기저의 원소들에 대해 $d (P (c))$의 최대 값으로 정의됩니다. $S = \{P_A : \phi_A \simeq \psi_A \}_{A \in I}$를 (부분적) 사슬 호모토피들의 모임이라 하고 그들의 직경 함수를 고려해봅시다. 그러면 $\{d_{P_A} \}$가 유계인지에 대한 여부를 자연스럽게 생각할 수 있고, 그 유계 정도를 측정할 수 있는 제어 함수에 대해서도 생각해 볼 수 있습니다. Cha는 주로 Cheeger-Gromov universal bound $C_M$을 연구하고 3차원 다양체의 Cheeger-Gromov $\rho$-불변량과 복잡성(complexity) 사이 관계를 밝혀냈습니다. 이 과정에서 그는 제어된 사슬 호모토피 개념을 사용하여 복잡성에 대한 새로운 하계를 계산했습니다. [7]에 알려진 사실은 어떤 제어 함수(control function)에 의해 균일하게 제어되는 사슬 호모토피의 모임이 있다는 것입니다. 특히 Cha는 제어 된 Eilenberg-Zilber 정리 $ \{P_{X,Y} : \Delta_{X,Y} \circ \nabla_{X,Y} \simeq \id_{C_* (X \times Y)} \}$에 대한 제어 함수 $ \delta_{EZ} $와 균일하게 제어된 mitotic군들의 embedding들 간 사슬 호모토피의 모임 $ \{\Phi_G^n : e \simeq i_G^n \} $에 대한 제어 함수 $ \delta_{BDH} $의 일부 값을 찾았습니다. 이 논문의 주요 목표는 위의 Cha [7]의 결과에 대해 가능한 많은 부분을 개선하는 것입니다. 먼저 사슬 호모토픽한 사슬 사상 쌍들의 모임의 최소 제어 함수에 대해 정의를 합니다. 이 제어 함수는 모든 가능한 각 사슬 호모토픽한 사슬 사상 쌍의 사슬 호모토피들의 모임의 제어 함수들 중 가장 작은 함수라 할 수 있습니다. 우리는 좀 더 많은 $k$에 대해 $\delta_{EZ} (k) $의 값들을 찾고, 작은 $k$에 대해 찾아낸 $ \delta_{EZ} (k) $의 값이 실제로는 최소 제어 함수의 값과 동일함을 보입니다. 또한 모든 $k$에 대해 $ \delta_{EZ} (k) $의 최소 값으로 간주되는 사슬을 찾는 알고리즘을 제시합니다. 마지막으로 더 효율적인 제어 함수 $ \delta_{BDH} (k) $를 찾고 그 값들을 제시합니다.
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Suppose $P: C_* \to D_{*+1}$ is a (partial) chain homotopy for based chain complexes. The diameter function $d_P(k)$ of $P$ is defined to be the maximum of $d(P(c))$ along all basis element of $C_k$ for each $k$. Let $S = \{ P_A : \phi_A \simeq \psi_A \}_{A \in I}$ be a collection of (partial) chain...
Suppose $P: C_* \to D_{*+1}$ is a (partial) chain homotopy for based chain complexes. The diameter function $d_P(k)$ of $P$ is defined to be the maximum of $d(P(c))$ along all basis element of $C_k$ for each $k$. Let $S = \{ P_A : \phi_A \simeq \psi_A \}_{A \in I}$ be a collection of (partial) chain homotopies and consider their diameter functions. Then we can naturally consider whether $\{d_{P_A}\}$ is bounded or not, and also can think about a control function that measures how bounded it is. In [7], Cha mainly studied the topological Cheeger-Gromov universal bound $C_M$ and revealed a relationship of the Cheeger-Gromov $\rho$-invariant and the complexity of 3-manifolds. In the process, he used a notion of controlled chain homotopy to find new lower bounds of the complexity of 3-manifolds. A known fact in [7] is that there is a uniformly controlled collection of chain homotopies with a control function. In particular, Cha found some values of a control function $\delta_{EZ}$ for the controlled Eilenberg-Zilber theorem $\{ P_{X,Y} : \Delta_{X,Y} \circ \nabla_{X,Y} \simeq id_{C_* (X \times Y)} \}$ and a control function $\delta_{BDH}$ for a uniformly controlled collection of chain homotopies of embeddings into mitoses $\{ \Phi_G^n : e \simeq i_G^n \}$. Our main goal is developing the above results of Cha [7]. We first define a minimal control function for a family of pairs of chain homotopic chain maps. Shortly, this is a control function that is minimal among all possible family of chain homotopies which come from each pair of chain homotopic chain maps. We find more values of a control function $\delta_{EZ}$. Then, following the preceding question, we show that some values of $\delta_{EZ}(k)$ equal the value of minimal control function of a family of pairs of chain homotopic chain maps $\{ (\Delta_{X,Y} \circ \nabla_{X,Y}, \id_{C_* (X \times Y)}) ~|~ X and Y are simplicial sets \}$ for small $k$. In addition, we construct algorithms that provide a chain that induces the value of minimal control function with some conjectures on the closed form of the value. At last, we develop the control function $\delta_{BDH}(k)$ and find more values by using the result of $\delta_{EZ}(k)$.
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I. Introduction and Main Results 1
II. Basic Terminologies 8
2.1 Controlled Chain Homotopy 8
...
I. Introduction and Main Results 1
II. Basic Terminologies 8
2.1 Controlled Chain Homotopy 8
2.1.1 Acyclic Models 9
2.2 Simplicial Sets and Simplicial Classifying Spaces 11
2.2.1 Simplicial Sets and Geometric Realization 11
2.2.2 Chain Complexes and Homology 14
2.2.3 Products 15
2.2.4 Simplicial Classifying Spaces 16
2.3 Mitotic Groups 17
III. Controlled Eilenberg-Zilber Theorem 19
3.1 Algorithms 27
3.2 Trivial Cases: $k$ = 0, 1 30
3.3 Non-trivial Cases: $k$ = 2, 3 32
3.4 Conjectures for Higher Dimensional Cases 38
IV. Chain Homotopy for Embeddings into Mitoses 41
4.1 Conjugation on Groups 41
4.2 Modifying the Control Function $\delta_{BDH}$ 43
V. Appendix 50
Summary (in Korean) 68